от Пайсона Б.Д. для 9-б

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

I.
(Вил, с. 226)
1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать кон-верт и марку для посылки письма?
2. Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «ЗДА¬НИЕ»? из слова «ПАРКЕТ»?
3. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – бе¬лый и черный? Реши-те ту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов. Решите ее, если нужно выбрать два белых квадрата
4. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 6 экземпляров учебника физики нужно выбрать комплект, содержащий все три учеб¬ника по одному разу. Сколькими спо-собами это можно сделать?
5. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко, и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Вани у Нади больше возмож¬ностей выбора?
(3600. с. 196)
6. В классе 5 отличников, 13 «хорошистов», 7 троечников и 2 неуспевающих. Сколькими способами можно выбрать группу из четырех учащихся, различных по уровню знаний?
7. Сколько делителей имеет число 355374?
8. Сколькими способами на шахматной доске можно поставить белую и черную ладьи так, что-бы они не били друг друга?
9. Сколькими способами на шахматной доске можно поставить 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
10. Из А в В ведут три различные дороги, из В в С – четыре различные дороги.
Сколько существует способов выбора дорог:
а) для путешествия из А в С через В;
б) для путешествия из А в С через В и затем обратно, также через В;
в) для путешествия из А в С через В и затем обратно, также через В, не прохо¬дя ни по одной доро-ге дважды?
(Лен, кружки, с. 20)
11. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чер¬ного королей, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?
12. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом явля¬ется любая последова-тельность, состоящая не более, чем из 4-х букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
13. Монету бросают трижды. Сколько последовательностей орлов и решек можно при этом полу-чить?
14. В стране 20 городов, каждые два из них соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?
15. Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна
нечетная цифра?
II.
(3600. с. 197)
16. Сколько различных пятизначных чисел (считая и данное) можно составить, переставляя цифры числа 53 427?
17. Дед Мороз должен обойти за день 50 детей. Сколькими способами он может выбрать их по-рядок?
18. Сколькими способами можно так переставить буквы в фамилии РЯЗАНОВСКИЙ, чтобы буква «И» стояла в середине слова?
19. Сколькими способами можно так переставить буквы в фамилии ЦИНОВСКАЯ, чтобы буква «К» не стояла:
а) непосредственно за буквой «С»; б) после буквы «С»?
20. Сколькими способами можно переставить буквы в фамилии «ПИГАРЕВ», чтобы сочета-ние «ПИ» всегда присутствовало?
21. Сколькими способами можно переставить в фамилии «БУНИМОВИЧ» бук¬вы, чтобы «М» и «О» стояли рядом?
22. Сколькими способами можно переставить буквы в фамилии «СМИРНОВА», чтобы все со-гласные стояли вместе и все гласные стояли вместе?
23. Сколькими способами можно переставить буквы в фамилии «ЧЕРКАСОВ», чтобы три глас-ные не стояли вместе?
24. Сколькими способами можно переставить в фамилии «КУЗНЕЦОВА» бук¬вы, чтобы ника-кие две гласные и никакие две согласные не стояли рядом?
25. На собрании выступило 5 человек, причем оратор Ж выступал дважды.
Сколькими способами могли распределиться выступления, если между двумя выступлениями оратора Ж было хотя бы одно выступление?
26. Сколько пятизначных чисел, кратных 4, можно составить, меняя местами цифры в числе 61135?
(Лен, кружки, с.20)
27. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы слова:
а) «ВЕКТОР»; б) «ЛИНИЯ»; в) «ПАРАБОЛА», г) «БИССЕКТРИСА»; д) МАТЕМАТИКА»?
28. Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не перевора-чивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 различных бусин?
29. Сколькими способами можно расста¬вить на первой горизонтали
шахматной доски комплект белых фигур?
30. Сколько существует 10-значных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?

III.

(Фак, с. 35)
31. Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?
32. а) Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеется материал пяти раз-личных цветов? б) Одна полоса должна быть красной?
33. Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7, если любую из них в каждом числе использовать не более одного раза?
34.Из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одина-ковых цифр, в которых есть цифры 2,4,5 одновременно. Сколько всего таких чисел можно составить?
(3600. с. 199)
35. Сколькими способами можно выбрать из восьмитомника А.С. Пушкина 4 тома и расставить их на полке?
36. Сколько четырехбуквенных сочетаний можно составить из букв фамилии «КОЗУЛИН»?
37. В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать четырех человек, одного из которых можно назначить дежурным по классу, другого - дежурным по столовой, третьего послать за мелом, четвертого вызвать к доске?
38. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение 10 дней (в один день сдает¬ся одни экзамен). Сколькими способами может быть составлено расписание?
39. В классе 13 юношей и 7 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух участников со-ревнований, если среди них должны быть: а) либо два юноши – метатель молота и бегун на 100 метров, либо две девушки – пловчиха и прыгунья в высоту;
б) два юноши – метатель молота и бегун на 100 метров и две девушки – пловчиха и прыгунья в высоту?
(Вил, с. 226)
40. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого)?
41. Из 10 различных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами это можно сделать?
42. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опус-кают не более одного письма?
Другие.
43. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2.3,4,5, если циф-ры в числе не повторяются?
44. Сколько можно составить пятизначных телефонных номеров из всех цифр так, чтобы в каждом отдельном номере все цифры были различными?
45. Команда из пяти человек выступает в соревнованиях, в кото¬рых участвует еще 20 спортсме-нов. Сколькими способами могут распределиться личные места, занятые членами этой команды?

IV.
(Лен, кружки, с. 124)
46. Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек?
47. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из 7 имеющихся?
48. На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три из них не лежат на од¬ной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
49. Спортивный клуб насчитывает 30 членов, из которых надо выделить 4 чело¬века для участия в забеге на 1000 м. Сколькими способами это можно сделать?
50. У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
51. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из нее отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
52. В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Необходимо со¬ставить команду из четырех человек, в которую должна входить хотя бы одна девоч¬ка. Сколькими способами это мож-но сделать?
53. Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные ко¬манды по 5 человек в каждой?
54. Сколькими способами можно выбрать из различных 15 слов набор, состоя¬щий не более чем из 5 слов?
55. В классе, в котором учатся Петя и Ваня - 31 человек. Сколькими способами можно выбрать из класса футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Ваня не входили в нее одновременно?
56. Сколькими способами можно разбить 15 человек: а) на три команды по 5 человек в каж-дой; б) на 2 команды по 5 человек в каждой?
57. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?
58. Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости троих из них так, что-бы компания не повторялась. Сколькими способами он может это сде¬лать?
59. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды (52 карты) 10 карт так, чтобы
а) среди них был ровно один туз; б) среди них был хотя бы один туз?
60. Для участия в лотерее «Спортлото» нужно указать 6 из 45 номеров.
а) Сколькими способами можно заполнить карточку «Спортлото»?
б) Сколько имеется вариантов заполнения карточки, при которых оказывается угаданным ровно три номера?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

61. На собрании выступило 5 человек, причем оратор Ж. выступал дважды. Сколькими способа-ми могут распределиться выступления, если известно, что между двумя выступлениями оратора Ж. было хотя бы еще одно выступление?
62. Собрались 10 человек разного роста. Сколькими способами они могут: а) встать в шеренгу по росту; б) встать в шеренгу; в) сесть у круглого стола так, чтобы хотя бы у одного изменился со-сед справа или сосед слева; г) сесть у круглого стола так, чтобы хотя бы у одного изменился хотя бы один сосед?
63. Сколькими способами из колоды карт (36 листов) можно набрать 4 карты разных мастей, ес-ли: а) порядок набора не учитывается; б) порядок набора учитывается?
64. Сколькими нулями оканчивается число 3207! ?
65. Сколькими способами: а) 9 юношей могут пригласить на танец 9 девушек? б) 9 юношей и 9 девушек встать по порядку в пары (юноша с девушкой) для игры в ручеек?
66. Код замка состоит из четырех записанных в определенном порядке цифр. Сколько существу-ет: а) различных кодов? б) различных кодов с неповторяющимися цифрами?
67. В классе 13 юношей и 7 девушек. Сколькими способами можно выбрать четырех человек для участия в соревнованиях, если среди них должны быть два юноши – метатель молота и бегун на 100 метров и две девушки — пловчиха и прыгунья в высоту? (Имеется в виду такой спортивный класс, что могут быть выбра¬ны любые юноши и любые девушки.)
68. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых нет цифры: а)0; 6)3?
69. Сколько существует семизначных чисел, в десятичной записи которых есть цифра: а) 0; б) 7?
70. Каких девятизначных чисел больше: тех, в записи которых есть цифра 5, или тех, в записи ко-торых этой цифры нет?
71. Сколькими способами можно распределить 14 человек по четы¬рем вагонам? (В один вагон можно посадить до 14 человек.)
72.. Сколькими способами из 10 человек можно выбрать: а) председателя и секретаря; б) двух пред-ставителей?
73. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать: а) 5 карт; б) 5 червей; в) 2 пики и 3 трефы?
74. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 7 карт, среди которых: а) все четыре короля; б) ровно один король; в) нет королей; г) хотя бы один король?
75. Имеются 4 супружеские пары. Сколькими способами среди них можно выбрать: а) четырех че-ловек; б) трех женщин и одного мужчину; в) четырех человек так, чтобы среди них не было членов одной семьи?
76. Из 7 произведенных выстрелов стрелок попадает в цель 4 раза. Сколькими способами могут распределиться номера не попавших выстрелов?
77. В традиционном домино 28 фишек от 0/0 до 6/6. Сколько фи¬шек в домино от 0/0 до 9/9?
78. В группе 10 девушек и 13 юношей. Сколькими способами можно выбрать: а) либо трех юношей, либо четырех девушек; б) трех юношей и четырех девушек; в) 7 человек, среди которых трое одного пола, а четверо – другого?
79. Для игры в преферанс раздали 32 карты: каждому из игроков по 10 карт и 2 – в прикуп. Сколь-ко существует различных раздач: а) без учета того, кому из игроков какие 10 карт достанутся; б) с уче-том этого?
80. Сколько существует способов взять 10 карт из 36 так, чтобы сре¬ди них было 5 червей?
81. Среди 36 номеров имеется 5 «счастливых». Сколькими способа¬ми можно выбрать 5 номеров, чтобы среди них оказалось: а) 3 «счастливых»; б) 4 «счастливых»; в) 5 «счастливых»; г) хотя бы 4 «счастливых»; д) не более 3 «счастливых»?
82. Сколькими способами из А деталей, среди которых В бракованных, можно выбрать а деталей, среди которых b бракованных?
(А > В; А > а; В > b; а > b)
83. Провели 18 параллельных прямых, а затем еще 16 параллель¬ных прямых, пересекающих первые. Сколько получилось параллелограммов?
84. На плоскости дано п точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через ка-ждые две точки проведена прямая. Сколько получилось прямых?
85. На плоскости дано 100 прямых, среди которых нет параллель¬ных, и никакие три не проходят через одну точку. Сколько имеется: а)точек пересечения; б) треугольников, все стороны которых лежат на данных прямых; в) трапеций, все стороны которых лежат на данных прямых?
86. В магазине 10 сортов мороженого в брикетах в достаточно большом количестве. Старик Хоттабыч покупает брикет, съедает его, покупает следующий и так съедает 7 брикетов. Сколькими способами (с учетом порядка сортов) он может это сделать?
87. Сколькими способами можно разложить 7 одинаковых шаров по 10 ящикам? (В один ящик можно класть сколько угодно шаров)
88. Сколькими способами можно разложить 7 разных шаров по 10 ящикам? (В один ящик можно класть сколько угодно шаров.)
89. Из 50 человек, заседающих в городской Думе, каждый день выбирают президиум из 4 человек. а) Сколько дней подряд Дума будет заседать с различными по составу президиумами? б) Сколько дней Дума будет заседать с различными по составу президиумами, в которые входит депутат Б? в) Сколько процентов из общего числа заседаний с различными по составу президиумами составляют заседания с такими президиумами, в которые не входят депутаты Ж и 3?
90. Сколькими способами 100 предметов можно разбить на 50 пар?
91. На окружности взята 101 синяя и одна красная точка.
а) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых мно¬гоугольников со всеми вер-шинами в синих точках?
б) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых много¬угольников, одна вершина ко-торых красная, а остальные синие? в) Каких многоугольников больше: из а) или из б)? г) Можно ли ответить на вопрос в) без ответа на вопросы а), б)?